PRÉPARATION AUX ORAUX

E.N.S Paris Saclay

Exercice 1 :

Q.1 Analyse physique : la densité de particules chargées est n_0\text{ particules/m}^3, ce qui signifie que le volume dont dispose une particule est de l’ordre de \frac{1}{n_0}\text{ m}^3\text{/particule}. Deux particules chargées sont donc en moyenne à une distance  \frac{1}{n_0^{1/3}} d’où l’expression de \Gamma. Si \Gamma<<1, l’énergie d’interaction entre deux particules chargées est négligeable devant leur énergie cinétique : on peut négliger les « chocs » entre particules chargées (plasma dilué et / ou chaud). Les forces subies sont alors des forces électromagnétiques dans le champ moyen créé par toutes les autres particules chargées. 

Q.2 C’est la loi de Boltzmann valable à l’équilibre thermique : la probabilité que la particule possède l’énergie potentielle  E_{\text{p}} est proportionnelle à e^{-\frac{E_{\text{p}}}{k_{\text{B}}T}}.

Ici, E_{\text{p}}=eV(r) pour un cation et E_{\text{p}}=-eV(r) pour un électron. La loi de pression de l’atmosphère isotherme est un exemple de la loi de Boltzmann et se met en équation en écrivant l’équilibre hydrostatique d’une couche d’air considérée comme un gaz parfait.

Q.3 On doit avoir équipartition des cations et des électrons quand  T \longrightarrow \infty donc A_\text{i}=A_\text{e}=n_0 .

Le terme dans l’exponentielle est petit donc on peut effectuer un D.L à l’ordre 1 et on trouve \rho = -\frac{2n_0e^2V(r)}{k_{\text{B}}T}.

Q.4 L’équation de Poisson s’intègre facilement en V(r)=\frac{A}{r}e^{-\frac{r}{\lambda_{\text{D}}}}.

Puisque le potentiel doit se rapprocher de celui d’un cation quand r\longrightarrow 0, on a A=\frac{e}{4\pi\epsilon_0}.

Q.5 Le potentiel étant connu, on en déduit le champ électrique et la charge intérieure à la sphère grâce au théorème de Gauss. On trouve \frac{Q}{e}=11 \times e^{-10}<<1.

Exercice 2 :

Analyse physique : la présence du champ magnétique va modifier la trajectoire des électrons qui ne sera plus radiale. Pour une d.d.p donnée, le flux d’électrons à travers un cylindre d’axe Oz va être différent de celui que l’on aurait sans champ magnétique, donc la résistance du matériau va dépendre de B.

Q.1 Symétrie cylindrique : V=V(r) et \overrightarrow{E}=-\frac{\text{d}V}{\text{d}r}\overrightarrow{e_r}.

Q.2 On fait l’hypothèse que la durée caractéristique du mouvement de l’électron est très grande devant \tau : on peut négliger m\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t} devant la force  -m\frac{\overrightarrow{v}}{\tau}. L’application du P.F.D à l’électron dans le référentiel du laboratoire amène bien à la relation de l’énoncé, avec R_{\text{H}}=-\frac{1}{ne}.

Q.3 Il suffit de projeter la relation du 2. : on trouve J_r=\frac{\gamma E_r}{1+(\gamma R_{\text{H}} B)^2} et J_{\theta}=-\frac{\gamma^2 R_{\text{H}} B E_r}{1+(\gamma R_{\text{H}} B)^2}.

Le long d’une ligne de courant, le déplacement élémentaire est colinéaire à \overrightarrow{J} : on trouve r=r_0 e^{-\frac{\theta}{\gamma R_{\text{H}} B}} : spirales exponentielles qui divergent vers l’armature externe.

L’intensité I s’obtient en prenant le flux de \overrightarrow{J} à travers la surface latérale d’un cylindre d’axe Oz. On trouve R=\frac{1+(\gamma R_{\text{H}} B)^2}{2 \pi \gamma h}\text{ln}\frac{R_2}{R_1}

Q.4 Le champ \overrightarrow{B} de l’énoncé  est créé par des densités de courants \overrightarrow{J_0} extérieures au système. La densité de courants \overrightarrow{J} qui apparait entre les armatures crée un champ \overrightarrow{B_1} qui se superpose à \overrightarrow{B} et que l’on pourrait calculer à l’aide de M.T et M.A.

On a \text{div} \overrightarrow{J}=0 en régime stationnaire.

Q.5 les relations fournies permettent de montrer que le champ électrique et le potentiel ne sont pas modifiés par la présence de \overrightarrow{B} :

\overrightarrow{E}=\frac{V_1-V_2}{r\text{ln}\left[\frac{R_2}{R_1}\right]}\overrightarrow{e_r}.

Exercice 3 :

Q.1 La poussée d’Archimède compense le poids : Z_{\text{éq}}=H\left[1-\frac{\rho_0}{\rho}\right].

En négligeant le mouvement de l’eau et sa viscosité, on trouve la pulsation des oscillations \omega_0=\sqrt{\frac{\rho g}{\rho_0 H}}.

Q.2 La relation fondamentale de la statique des fluides donne p_{\text{éq}}=p_0 – \rho gz.

Q.3 L’écoulement étant incompressible, \text{div} \overrightarrow{v}=0.

Q.4 On obtient la relation demandée en prenant la divergence de l’équation du mouvement. En utilisant les C.A.L, on a p_1(z)=A e^{kz}.

La C.A.L à la surface libre donne A=\rho g \xi_0. L’onde est progressive et harmonique mais non plane.

Q.5 Les projections du P.F.D appliqué à la particule fluide permettent de trouver les composantes de \overrightarrow{v} maintenant que la pression est connue.

Q.6 Du fait de l’onde qui se propage, le fluide situé en x^{\prime}>x subit entre z et z+\text{d}z une force de pression +p_1(z)\text{cos}(\omega_0 t-kx)L\text{d}z\overrightarrow{e_x} de la part du fluide situé en  x^{\prime}<x, donc une puissance p_1(z)\text{cos}(\omega_0 t-kx)v_x(x,z,t)L\text{d}z. En prenant la valeur moyenne et en intégrant entre z=-\infty et z=0, on trouve :

P=<p>=\frac{1}{4 \omega_0}\rho g^2 \xi_0^2L.

Q.7 L’énergie de la poutre est E=\frac{1}{2}m\dot{Z}^2-mgZ, avec Z(t)=Z_0(t)\text{cos}(\omega_0 t)+Z_{\text{éq}} où  Z_0(t) varie sur des durées très supérieures à la période T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}. 

On calcule <E> sur [katex]T_0[/katex], et on écrit que cette énergie diminue du fait des ondes générées dans le sens des x croissants et des x décroissants :

\frac{\text{d}<E>}{\text{d}t}=-2P.

Comme \xi_0=\alpha Z_0, on obtient l’équation différentielle régissant Z_0(t), dont les solutions décroissent exponentiellement avec \tau=\frac{\rho_0}{\rho}\frac{Hl\omega_0^3}{g^2\alpha^2}.

Exercice 4 :

Q.1 On trace un signal de rapport cyclique égal à 1 lorsque la lumière traverse le filtre rouge, 0 lorsqu’elle traverse le filtre vert, et 1/2 lorsqu’elle traverse le filtre bleu.

Q.2, Q.3 et Q.4 : c’est l’exercice classique : C=\frac{\epsilon_0 h}{\alpha}\text{ln}\left[\frac{b}{a}\right] et U_{\text{e}}=\frac{1}{2}\frac{\epsilon_0 h}{\alpha}\text{ln}\left[\frac{b}{a}\right]u^2 .

Q.5 Les condensateurs sont en parallèle :  leurs capacités s’ajoutent. Ici, c’est la formule du cours pour un condensateur plan.

Q.6 On retrouve la géométrie du condensateur diédrique; il suffit de trouver sur une figure les valeurs de a et b . On obtient :

C^{\star}=\frac{\epsilon_0 h}{\alpha}\text{ln}\left[\frac{X-l_0}{X-l}\right] et C=\frac{\epsilon_0 h}{\alpha}\text{ln}\left[\frac{X+l}{X+l_0}\right] .

Q.7 La seule puissance apportée au système est électrique : p=ui=u\frac{\text{d}(Cu)}{\text{d}t} mais attention ! la capacité est ici variable.

L’énergie apportée \delta E=ui\text{d}t=u\text{d}(Cu) correspond à un accroissement de l’énergie du système, somme de l’énergie électrique et de l’énergie cinétique :

\delta E=\text{d}(U_{\text{e}}+E_{\text{c}}) .

Le théorème de l’énergie cinétique fournit \text{d}E_{\text{c}}=\Gamma \text{d}\alpha, ce qui permet de montrer que \Gamma = \frac{1}{2}\frac{\text{d}C}{ \text{d}\alpha}u^2=\left(\frac{\partial U_{\text{e}}}{\partial \alpha}\right)_u . On agit donc sur la tension u pour exercer un couple sur le pixel (il existe un couple de rappel qui ramène le pixel dans sa position de repos).

Exercice 5 :

Q.1 Analyse physique : le position génère une onde acoustique. La surpression sur sa face droite qui en résulte va le freiner.

La théorie est linéaire donc la force de « frottement » sera linéaire en u qui va décroître exponentiellement. Le temps caractéristique est donc indépendant mais doit augmenter avec m (inertie du piston) et décroître avec \rho_0 (densité du milieu), c (célérité de l’onde) et R.

L’analyse dimensionnelle fournit :

\tau = K\left(\frac{R}{c}\right)\left(\frac{m}{\rho_0R^3}\right)^\alpha, la constante K étant sans dimension.

Q.2 L’onde émise est une O.P.P donc la surpression est proportionnelle à la vitesse du fluide, laquelle est égale à la vitesse du piston sur sa face de droite, ce qui permet d’arriver à l’équation différentielle en u et d’identifier K=\frac{1}{\pi} et \alpha=1.

Q.3 Le piston se déplace de d=u_0 \tau, qui reste très petit devant la longueur d’onde caractéristique du système si u_0<<c.

Q.4 Le front d’onde de surpression arrive en x=ct à la date t. p_1 est nulle pour de plus grandes abscisses, pas encore atteintes par l’onde, la surpression décroit exponentiellement quand x se rapproche de 0.

La surpression est nulle en x fixé tant que t<\frac{x}{c}, est maximale à t=\frac{x}{c} puis décroît exponentiellement.

Q.5 L’énergie acoustique volumique vaut u_{\text{ac}}=\rho_0v^2 pour une O.P.P. En intégrant sur tout le tube, on obtient U_{\text{ac}}=\frac{1}{2}mu_0^2\left[1-e^{-2\frac{t}{\tau}}\right].

Exercice 6 :

Analyse physique : dans tout le problème, il faut utiliser le théorème de l’énergie mécanique et surtout pas le P.F.D, puisque l’on cherche à relier la vitesse et la position.

Q.1 v_B=\sqrt{2gnp}.

Q.2 Il suffit d’exprimer la vitesse sur la base cylindrique et d’éliminer \dot{\theta}=\frac{2\pi}{p}\dot{z}.

Q.3 \ddot{z} étant constante, on a z=\frac{1}{2}\ddot{z}t^2 ce qui permet de trouver le temps de parcours.

Q.4 Il y a bien analogie avec les lois de Descartes de la réfraction puisque n(z)=\frac{c}{v(z)} (ici la vitesse ne dépend que de z d’après le théorème de l’énergie mécanique. De la relation fournie on tire i_A=0 (le toboggan est d’abord vertical) et, puisque i_B=\frac{\pi}{2} : C=\frac{1}{\sqrt{2gh}}.

Pour trouver l’équation différentielle en z, on exprime v(z) et on écrit \text{sin}i=\frac{\dot{x}}{v}.

La cycloïde dont l’équation paramétrique est donnée vérifie l’équation différentielle précédente, et v=\sqrt{2g(h+z)} (non demandé) : c’est donc la trajectoire qui amène le plus rapidement de A à B.

Q.5 On exprime \text{d}x et \text{d}z en fonction de \text{d}\theta, ce qui permet de calculer \text{d}s=h\text{cos}\left(\frac{\theta}{2}\right)\text{d}\theta. On peut alors intégrer pour trouver s puis obtenir la relation demandée.

On écrit alors de nouveau le théorème de l’énergie mécanique : \frac{1}{2}m\left(\frac{\text{d}s}{\text{d}t}\right)^2-mgz=Cte, qui donne par dérivation temporelle l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation \omega_0=\sqrt{\frac{g}{2h}}. La période T_0=\frac{2\pi}{\omega_0} est donc indépendante des conditions initiales. Quel que soit le point de la cycloïde d’où on se laisse glisser, on met le même temps pour rejoindre B, c’est-à-dire un quart de période.

Exercice 7 :

Q.1, Q.2 et Q.3 C’est un exercice classique à connaître.

Q.4 Analyse : les rôles des condensateurs sont symétriques : ils ont soumis à la tension \frac{E^{\prime}}{2}. On a deux phases entre t=0 et t=\frac{T}{2} : \text{K}_1 fermé jusqu’à t=\alpha T puis ouvert, \text{K}_2 étant ouvert. On a d’abord u_L=E-\frac{E^{\prime}}{2} (dans cette phase, i_{\text{e}} croît) puis u_L=E-E^{\prime} (i_{\text{e}} décroît). On en déduit \frac{E^{\prime}}{2}\le E \le E^{\prime}.

Les résultats sont identiques sur la demi-période suivante la période des signaux est maintenant \frac{T}{2}.

Le calcul donne E^{\prime}=\frac{E}{1-\alpha} (inchangé), mais l’ondulation de courant est plus faible puisqu’elle passe de \Delta i_{\text{e}}= \frac{E \alpha T}{L} à \Delta i_{\text{e}}=\left(E-\frac{E^{\prime}}{2}\right) \frac{\alpha T}{L}.

Exercice 8 :

Q.1 Le laplacien en sphérique n’étant pas fourni, il faut calculer les flux qui traversent les sphères de rayon r et r+\text{d}r afin de faire un bilan d’énergie à la couronne comprise entre ces deux rayons, entre t et t+\text{d}t.

Q.2 En injectant la solution recherchée dans l’équation précédente, on peut séparer les termes en r de ceux en t et garder la seule solution physique : g(t)=Ae^{-\frac{t}{\tau}}.

Q.3 Toujours en injectant dans l’équation qui régit f(r), on obtient des solutions si \alpha =\frac{1}{ \sqrt{a\tau}}. La solution obtenue correspond à des C.I très particulières : champ de température en \frac{\text{sin}(\alpha r)}{r}. Il faut \alpha r\le \pi pour que la solution reste une fonction monotone de r (le contraire ne serait pas physique).

Q.4 La continuité du flux en r=R permet d’obtenir la relation demandée.

Q.5 Pour Nu>>1, la diffusion est limitante et on retrouve \tau \propto \frac{R^2}{a}.

Pour Nu<<1, la conducto-convection est limitante et on a \tau =\frac{\rho c R}{3h}.

Exercice 9 :

Q.1 On applique le théorème de Bernoulli le long d’une ligne de courant entre l’infini et un point A à la surface de l’hélice. Il y a cavitation si p_A<p_{\text{sat}} donc si :

v_A \ge v_{\text{critique}}=\sqrt{\frac{p_\infty-p_{\text{sat}}}{\rho}}.

Q.2 On obtient l’expression de la vitesse dans l’écoulement en exploitant son incompressibilité.

Q.3 On reconnaît le P.F.D appliqué à une particule fluide lorsque l’on néglige la pesanteur et la viscosité. On y injecte l’expression de la vitesse trouvée à la question précédente, puis on intègre entre la surface de la bulle r=R(t) où p\simeq 0 et r \longrightarrow \infty où p=p_\infty.

Q.5 Le changement de variable proposé aboutit à :

\frac{\text{d}f}{\text{d}R}+\frac{3}{R}f=-\frac{2p_0}{\rho R}.

On trouve \dot{R}^2=\frac{2p_0}{3\rho}\left[\left(\frac{R_0}{R}\right)^3-1\right] .

On isole enfin \text{d}t puis on intègre pour trouver le temps d’implosion t_{\text{f}}= JR_0\sqrt{\frac{3 \rho}{2p_0}}.

Exercice 10 :

Q.1 On applique le P.F.D à un tronçon élémentaire de caténaire, en tenant compte de la force de rappel. 

On obtient c=\sqrt{\frac{T_0}{\mu}} et \delta=\sqrt{\frac{T_0}{K}}.

Q.2 Dans le référentiel du T.G.V X=x-Vt. L’équation régissant \psi(X) donne bien la solution fournie, avec \Delta = \delta\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}.

Q.3 Il faut tenir compte dans le système de la masse \text{d}=\mu V\text{d}t qui rentre et sort du tronçon de longueur \epsilon \longrightarrow 0 autour de A pour se ramener à un système fermé.

Q.4 En injectant la solution trouvée à 2. on obtient \psi_0=\frac{F}{2\sqrt{KT_0\left(1-\frac{V^2}{c^2}\right)}}.

En pratique, il n’y a plus contact quand V \ge c.